精选6大模型 · SVG示意图详解 · 助你轻松理解几何奥秘
模型说明：几何模型是初中几何中常见图形结构的提炼与总结，掌握经典模型可以帮助同学们快速识别图形特征、找到解题突破口。本页精选 手拉手、飞镖/燕尾、八字/蝴蝶、一线三等角、半角、将军饮马 六大经典模型，每个模型配有 SVG示意图、核心原理讲解和例题解析，属于第四周的拓展提升内容，适合学有余力的同学深入学习来源：学科网/CSDN。
两个共顶点、且顶角相等的等腰三角形构成。九字口诀："手拉手，共顶点，全等相似肩并肩"。
① 共顶点；② 等线段（OA=OB，OC=OD）；③ 等旋转角（∠AOB=∠COD）。三者缺一不可。
旋转变换下的全等（或相似）。两个等腰三角形共顶点且顶角相等，可通过旋转使一组边重合，从而证明三角形全等或相似。
△ACD ≌ △BCE（SAS）
拉手线相等：AE = DC
拉手线夹角：∠AOD = 60°（等边三角形情形）
△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共顶点，连接BE、AD交于点F。求证：①△ACD≌△BCE；②BE=AD。
∵ △ABC、△DCE 为等边三角形
∴ AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°
∴ ∠ACD=∠BCE（等量加同量）
在 △ACD 和 △BCE 中：
AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC
∴ △ACD≌△BCE（SAS）
故 AD=BE（全等三角形对应边相等）。
来源：学科网 - 初中几何经典模型汇编
来源：学科网 https://m.zxxk.com/soft/56846200.html ；新浪教育 https://www.sina.cn/news/detail/5194556766162439.html
凹四边形（concave quadrilateral），因外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形而得名。其中一个内角大于180°，称为"凹角"。
三角形外角定理。凹角可看作某三角形的外角，利用"三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和"逐步推导。
∠BPC = ∠A + ∠B + ∠C（凹角 = 其余三个内角之和）
连接AC并延长，利用三角形外角定理：凹角∠BPC可分解为两个三角形外角之和，分别等于对应两角，累加即得∠BPC=∠A+∠B+∠C。
若 BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC，则 ∠O = (∠A + ∠C)/2。
燕尾风筝平面图中，已知∠A=30°，∠B=45°，∠C=25°，求凹角∠BPC。
由飞镖模型结论：∠BPC = ∠A + ∠B + ∠C
∠BPC = 30° + 45° + 25° = 100°
来源：学科网 - 凹四边形（飞镖/燕尾）模型
来源：学科网 https://www.zxxk.com/soft/56582568.html
两条线段相交于一点，形成两个三角形，形状似数字"8"。蝴蝶模型是其相似版本（当两组对边平行时）。
三角形内角和定理 + 对顶角相等。两个三角形共享一对对顶角，结合内角和180°即可得到角的关系。
∠A + ∠B = ∠C + ∠D（相对两角之和相等）
当 AB∥CD 时，△AOB∽△COD（AA相似），OA/OC = OB/OD = AB/CD。
线段AD、BC交于点O，连接AB、CD。已知∠A=50°，∠B=70°，∠D=40°，求∠C。
由八字模型：∠A + ∠B = ∠C + ∠D
即 50° + 70° = ∠C + 40°
120° = ∠C + 40°
∴ ∠C = 80°
来源：学科网 - 八字/蝴蝶模型
来源：学科网 https://www.zxxk.com/soft/56582568.html ；刷刷题 https://m.shuashuati.com/v/4030726.html
一条直线上出现三个度数相等的角，角的两边分别相交形成两个三角形。当三个角为直角时称"一线三垂直"或"K型图"。
通过等角代换，利用"两角对应相等"（AA）证明三角形相似或全等。
同侧型：△ABE ∽ △ECD，AB + CD = BC
异侧型：AB − CD = BC
在直角坐标系中，点A(0,3)、B(4,0)在坐标轴上，点P在第一象限，且∠APB=90°，AP=PB，求点P坐标。
过P分别向x轴、y轴作垂线PC、PD，形成"一线三垂直"结构。
由 △APD≌△PBC（AAS），利用全等对应边相等，列方程求解。
设P(m,n)，由全等得 PD=BC、AD=PC，结合A、B坐标建立方程组，解得 P点坐标。
来源：学科网 - 一线三等角（K型图）模型
来源：学科网 https://m.zxxk.com/soft/56846200.html ；金锄头文库 https://www.jinchutou.com/shtml/0d70cd2737361b3e0cec9d388c3a9251.html
在一个角中含有度数为其一半的角。最经典的是正方形中的45°半角问题（正方形角为90°，含45°半角）。
通过旋转构造全等三角形，将分散的线段拼接成一条直线（"旋转补形"法）。
正方形中∠EAF=45°时：EF = BE + DF
过A作AG⊥EF于G，则 AG = AD（点A到EF的距离等于正方形边长）
正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
将 △ADF 绕点A顺时针旋转90°至 △ABG 位置：
→ AG=AF，BG=DF → ∠GAF=90° → ∠EAG=45°=∠EAF
在 △EAF 和 △EAG 中：
AE=AE，∠EAF=∠EAG，AF=AG
∴ △EAF≌△EAG（SAS）
∴ EF=EG=EB+BG=BE+DF。
来源：CSDN - 半角模型专题
来源：CSDN https://blog.csdn.net/weixin_42433737/article/details/156308506 ；学科网 https://m.zxxk.com/soft/57015823.html
将军从军营A出发，到河边饮马，再到军营B，求最短路径。源自古罗马数学家海伦（Heron）的经典问题。
轴对称变换 + "两点之间，线段最短"。利用对称把折线问题转化为两点间线段问题。
① 作点B关于直线l的对称点B'
② 连接AB'，交直线l于点P
③ 点P即为所求，PA+PB的最小值 = AB'
在l上另取任一点P'，∵ l是B、B'的对称轴 ∴ P'B=P'B'。在△AP'B'中，AP'+P'B'>AB'，故P点使距离和最小。
A、B两村在河流l的同侧，要在河边建抽水站P使PA+PB最短，已知A到l的距离、B到l的距离及A、B水平距离，求PA+PB最小值。
① 作B关于l的对称点B'；
② 连接AB'交l于P；
③ PA+PB = PA+PB' = AB'；
④ 用勾股定理求AB'（A、B'的水平距离与竖直距离已知），即为 PA+PB的最小值。
来源：学科网 - 将军饮马（最短路径）模型
来源：学科网 https://m.zxxk.com/soft/53447930.html ；CSDN https://blog.csdn.net/fazai001/article/details/149279869
| 模型名称 | 别名 | 核心原理 | 关键结论 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 手拉手模型 | 共顶点旋转模型 | 旋转变换下的全等/相似 | △ACD≌△BCE，拉手线相等 | 共顶点等腰/等边三角形 |
| 飞镖模型 | 燕尾模型、回旋镖模型 | 三角形外角定理 | ∠BPC=∠A+∠B+∠C | 凹四边形角度计算 |
| 八字模型 | 蝴蝶模型（相似版） | 内角和定理+对顶角 | ∠A+∠B=∠C+∠D | 两线相交求角度/比例 |
| 一线三等角 | K型图、三垂直 | 等角代换证相似/全等 | △ABE∽△ECD，AB±CD=BC | 坐标几何、直角构造 |
| 半角模型 | 正方形半角、45°半角 | 旋转构造全等（补形） | EF=BE+DF，AG=AD | 正方形含45°角问题 |
| 将军饮马 | 最短路径模型、海伦问题 | 轴对称+两点间线段最短 | PA+PB最小值=AB' | 最短路径、选址问题 |
① 识图为先：先记住每个模型的"标志性图形"，看到题目能迅速识别属于哪个模型；
② 理解原理：不要死记结论，要理解每个结论背后的证明思路（旋转、外角、相似、对称）；
③ 变式训练：模型常以变式出现，注意共顶点、平行、直角等特殊条件的灵活运用。